موضوع الرياضيات · امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام)، دورة 2026

الحصّة: ساعتان · الضارب: 2 · 5 تمارين على 20. المصدر: وزارة التربية التونسية، دورة 2026.

حمّل الموضوع وحاول حلّه في ساعتان قبل فتح عناصر الإجابة.

التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات

3 نقاط

مجموعة حلول متراجحة، قابلية قسمة ⁦7²⁰²⁸ − 4×49¹⁰¹³⁩، ونقطتان متناظرتان في معيّن.

عناصر الإجابة

1) ⁦−2x + 3⁩ < 3 + x تعني −3x < 0 أي x > 0: الجواب (ب⁦) ]0 ; +∞[⁩.
2) ⁦49¹⁰¹³ = 7²⁰²⁶⁩ إذن العدد يساوي ⁦7²⁰²⁶ × (49 − 4) = 45 × 7²⁰²⁶⁩: يقبل القسمة على 15، الجواب (أ).
3) ⁦(2 − √2)/√2 = √2 − 1⁩ إذن ⁦A(√2 ; √2 − 1)⁩ و ⁦B(−√2 ; 1 − √2)⁩: الإحداثيات متقابلة، فهما متناظرتان بالنسبة إلى O، الجواب (ج).

3,5 نقاط

a و b بالجذر ⁦√21⁩، قيمة مطلقة، ثمّ 3a مقلوب ⁦(a − 1)⁩ وحساب جذر.

عناصر الإجابة

1) ⁦(3/2)² = 9/4⁩ و ⁦(√21/3)² = 21/9⁩ و ⁦9/4 < 21/9⁩ إذن ⁦3/2 < √21/3⁩.
⁦|3/2 − √21/3| = √21/3 − 3/2⁩ إذن ⁦b = √21/6 + 1/2 = (3 + √21)/6⁩.
2) ⁦(√3 − √7)² = 10 − 2√21⁩ إذن ⁦a = (3 − √21)/6⁩.
⁦3a² = (5 − √21)/2⁩ و ⁦3a = (3 − √21)/2⁩، والفرق 1: ⁦3a(a − 1) = 1⁩ إذن 3a مقلوب ⁦(a − 1)⁩.
3) ⁦a + b = 1⁩ إذن ⁦1 − b = a⁩، و ⁦(1 − b)/(a − 1) = a/(a − 1) = a × 3a = 3a²⁩.
الجذر يساوي ⁦√(a² − 2a + 1) = |a − 1| = 1 − a⁩ لأنّ ⁦a < 0⁩، أي ⁦(3 + √21)/6⁩.

4,5 نقاط

⁦A = x² − 12x + 16⁩: تفكيك وحلّ معادلة وحصر، ثمّ مربّع ضلعه 4 ومتوازي أضلاع وطالس تقود إلى المعادلة نفسها.

عناصر الإجابة

1) ⁦A = (x − 6)² − 20 = 20 − 20 = 0⁩ في حالة ⁦x = 6 + 2√5⁩.
2) ⁦(x − 6)² − 20 = x² − 12x + 36 − 20 = A⁩، ثمّ فرق مربّعين: ⁦A = (x − 6 − 2√5)(x − 6 + 2√5)⁩، والحلول ⁦6 + 2√5⁩ و ⁦6 − 2√5⁩.
3) ⁦4 < 5 < 9⁩ إذن ⁦2 < √5 < 3⁩، ومنه ⁦0 < 6 − 2√5 < 2⁩.
4) ⁦(AN) // (PC)⁩ لأنّ AMCN متوازي أضلاع، وحسب طالس في المثلث DPC: ⁦DA/DP = DN/DC⁩، و ⁦DN = 4 − a⁩، إذن ⁦DP = 16/(4 − a)⁩.
5) S₁ ⁦= (DP × AM)/2 = 8a/(4 − a)⁩ و S₂ ⁦= (BC × BM)/2 = 2(4 − a)⁩.
S₁ ⁦= S⁩₂ تعني ⁦4a = (4 − a)²⁩ أي ⁦a² − 12a + 16 = 0⁩، والحلّ الوحيد في ⁦]0 ; 4[⁩ هو ⁦a = 6 − 2√5⁩.

5 نقاط

مركز ثقل، دائرة قطرها ⁦[BI]⁩، طالس، المركز القائم لمثلث، ثمّ مساحة وطول بالعلاقات القياسية.

عناصر الإجابة

1) ⁦BC = 6√2 (⁩بيتاغور). (CI) و (AO) موسّطان في المثلث ABC، فـ G مركز ثقله و ⁦CI = (3/2) CG⁩.
2) K على الدائرة التي قطرها ⁦[BI]⁩ إذن (IK) ⊥ (BC)، والموسّط (AO) ارتفاع في المثلث المتقايس الضلعين، إذن ⁦(IK) // (AO)⁩.
حسب طالس: ⁦CK/CO = CI/CG = 3/2⁩ و ⁦CO = 3√2⁩ إذن ⁦CK = 9√2/2⁩.
3) (IK) و (CA) ارتفاعان في المثلث IBC فـ H مركزه القائم؛ و (BE) ⊥ (IC) (زاوية في نصف دائرة) فهو الارتفاع الثالث، إذن H و E و B على استقامة واحدة.
4) الزاوية في C تساوي 45° و (HK) ⊥ (BC) فالمثلث HKC قائم في K ومتقايس الضلعين، و ⁦HK = CK⁩.
مساحة ⁦BCH = (BC × HK)/2 = 27 cm². BK = 3√2/2⁩ و ⁦BH² = BK² + HK² = 45⁩ إذن ⁦BH = 3√5⁩، و ⁦CE = 2 × 27 / BH = 18√5/5⁩.

4 نقاط

أطوال بيتاغور وعكسها، تعامد مستقيم ومستوٍ، مربّع في الفضاء وحجم هرم.

عناصر الإجابة

1) ⁦SD² = SC² + CD² = 12,96 + 23,04 = 36⁩ إذن ⁦SD = 6. BS = 6,4⁩ و ⁦SA² = 6,4² + 4,8² = 64⁩ إذن ⁦SA = 8⁩.
⁦SA² + SD² = 100 = AD²⁩ فالمثلث SAD قائم في S (عكس بيتاغور).
2) (DH) عمودي على المستوي (ABCD) فهو عمودي على ⁦(DS). SJ = DH = 6⁩ و ⁦(SJ) // (DH)⁩ و ⁦SD = 6⁩ مع زاوية قائمة: SJHD مربّع.
3) ⁦(SJ) // (CG)⁩ و (CG) ⊥ (ABC) إذن (SJ) ⊥ (ABC)، ومنه (AS) ⊥ (SJ)؛ ومع (AS) ⊥ (SD): (AS) ⊥ (SJD).
4) حجم الهرم ⁦ASJHD = (36 × 8)/3 = 96 cm³⁩.

عناصر الإجابة من إعداد سكولار، وليست الإصلاح الرسمي. إذا لاحظت خطأ، راسلنا.

لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.